如图，在中. ，以为直径的⊙ 分别交于点，点在的延长线上，且 .

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1. (2019·西藏) 如图，在 $\text{[math]}$ 中. $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的⊙ $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离.

能力提升真题演练换一批

1. (2022·诸暨模拟) 图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点 $\text{[math]}$ 均为可转动点，现测得 $\text{[math]}$ ，经多次调试发现当点 $\text{[math]}$ 都在 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．
1. （1）求放置最平稳时灯座 $\text{[math]}$ 与灯杆 $\text{[math]}$ 的夹角的大小；
2. （2）当A点到水平桌面（ $\text{[math]}$ 所在直线）的距离为 $\text{[math]}$ 时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将 $\text{[math]}$ 调节到 $\text{[math]}$ ，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据： $\text{[math]}$ ）
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2. (2021·青白江模拟)
1. （1）计算 $\text{[math]}$
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 是关于x的方程2x²-3x+k=0的一个根，求方程的另一个根及k的值．
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3. (2021·文成模拟) 文成县一支参赛队准备请一个刺绣师为他们的队旗绣一个队微，队徽是以“文”字的拼音首字母“W”为主要造型．如图，长方形EFPQ的长EQ＝40cm，宽EF＝18cm，整个图形关于直线AG对称，且AB∥CD，AD∥BC，BM∥EC，CF＝12 cm，EM：BC＝2：3．为使图案美观，EM不能超过AM的 $\text{[math]}$ ．刺绣师准备在甲，乙，丙三个区域分别以不同的刺绣手法刺绣，其中甲区域是指“W”范围，乙区域是指“W”上方的两个三角形范围，丙是指整个长方形除去甲，乙的部分，设EM＝xcm．
1. （1）当x为何值时，丙区域的面积恰好为306平方厘米．
2. （2）求甲区域面积关于x的函数关系式，并求甲面积的最大值．
3. （3）若甲，乙，丙三个区域每平方厘米刺绣的针数分别为5n，5n，4n（n为正整数），甲乙的总针数之和比丙的总针数多15840针，则甲区域每平方厘米至少需要绣针（直接写出答案）．
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1. (2021·株洲) 如图所示，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.
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2. (2022·达州) 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.
1. （1）求该二次函数的表达式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
3. （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， $\text{[math]}$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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3. (2022·怀化) 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF $\text{[math]}$ AB交BC于点F.
1. （1）求抛物线和直线BC的函数表达式，
2. （2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长.
3. （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.
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