四川省绵阳市涪城区2023-2024学年九年级上学期期中数学...

更新时间：2024-01-30 浏览次数：11 类型：期中考试

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. (2023九上·涪城期中) 在一元二次方程-x²-4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（　　）

A . -1，4 B . -1，-4 C . 1，4 D . 1，-4

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2. 用配方法解方程x²+2x-5＝0时，下列配方结果正确的是（　　）

A . （x-1）²＝5 B . （x+1）²＝6 C . （x+1）²＝7 D . （x-1）²＝6

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3. (2021·天河模拟) 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A . 赵爽弦图 B . 笛卡尔心形线 C . 科克曲线 D . 斐波那契螺旋线

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4. (2023九上·涪城期中) 巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为 $\text{[math]}$ 米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023九上·涪城期中) 下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　）

A . （x-3）²＝4 B . x²＝x C . x²+2x+1＝0 D . x²-16＝0

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6. (2023九上·涪城期中) 某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x ，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（　　）

A . y＝5000（1+2x） B . y＝5000（1+x）² C . y＝5000+2x D . y＝5000x²

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7. (2023九上·涪城期中) 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是y＝ $\text{[math]}$ x² ，那么这个函数解析式为（　　）

A . y＝ $\text{[math]}$ （x+3）²-2 B . y＝ $\text{[math]}$ （x+3）²+2 C . y＝ $\text{[math]}$ （x-3）²-2 D . y＝ $\text{[math]}$ （x-3）²+2

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8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E分别在AB、AC上，CE＝ $\text{[math]}$ -1，且△BED是等腰直角三角形，其中∠BED＝90°，则AD的值是（　　）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ -1 D . $\text{[math]}$

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9. (2021九上·兰州期末) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A . m≥2 B . m<2 C . m≥0 D . m<0

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10. (2023九上·涪城期中) 定义新运算：对于两个不相等的实数a ， b ，我们规定符号max{a ， b}表示a ， b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{-1，-3}＝-1；按照这个规定，若max{x ， -x}＝ $\text{[math]}$ ，则x的值是（　　）

A . -1 B . -1或2+ $\text{[math]}$ C . 2+ $\text{[math]}$ D . 1或2- $\text{[math]}$

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11. (2023九上·涪城期中) 如图，将Rt△ABC绕着直角顶点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，则∠CC′A的度数为（　　）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

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12. 对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝-x均是“闭函数”．已知y＝ax²+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . -1≤a≤1 D . -1≤a＜0或0＜a≤1

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二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13. (2023九上·涪城期中) 若 $\text{[math]}$ 是关于自变量x的二次函数，则n＝．

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14. (2023九上·涪城期中) 已知点A（3a-9，2-a）关于原点对称的点为A′，点A′关于x轴对称的点为A″，点A″在第四象限，那么a的取值范围是．

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15. (2023九上·涪城期中) 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是．

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16. 如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．

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17. (2023九上·涪城期中) 如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝ $\text{[math]}$ ， PB＝ $\text{[math]}$ ， PC＝2 $\text{[math]}$ ，则∠APB的度数为．

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18. (2023九上·涪城期中) 如图是二次函数y＝ax²+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝-1，且过点（-3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，则-3＜x₁＜x₂＜1，其中说法正确的有．

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三、解答题（共6小题，满分46分）

19. (2023九上·涪城期中) 在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答：
⑴先将△ABC向下平移5格得△A₁B₁C₁ ，再将△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°得△A₂B₂C₂；
⑵请在图中以点O为坐标原点，建立适当直角坐标系，写出此时点A₂、B₂、C₂的坐标．

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20. 如图，已知抛物线y＝-x²+（m-1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；
（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是 ▲ ．
（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 ▲ ．

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21. (2023九上·涪城期中) 某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数关系，其对应数据如表：
x（天）
……
1
3
5
7
……
y（件）
……
35
45
55
65
……
1. （1）直接写出y与x的函数关系式；
2. （2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
3. （3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
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22. (2023九上·涪城期中) 如图，长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的底端滑动1m ，求梯子顶端下滑的区间．（精确到0.1米）

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23. (2023九上·涪城期中) 某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程：
1. （1）操作发现：如图1，△ABC中，AB＝AC ， ∠BAC＝90°，D为边BC上的一点，连接AD ，作∠FAD＝90°，并截取FA＝AD ，连接DF ．求证：BD²+CD²＝DF²；
2. （2）灵活运用：如图2，在四边形ABCD中，AC ， BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
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24. (2023九上·涪城期中) 如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x-h）²+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h ， k+ $\text{[math]}$ ），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l ，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m ，垂足为E、D ．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
1. （1）直接写出抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²的焦点坐标以及直径的长．
2. （2）求抛物线y＝ $\text{[math]}$ （x-3）²+2的焦点坐标以及直径的长．
3. （3）已知抛物线y＝a（x-h）²+k（a≠0）的直径为 $\text{[math]}$ ，求a的值．
4. （4） ①已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
  ②直接写出抛物线y＝ $\text{[math]}$ （x-3）²+2的焦点矩形与抛物线y＝x²-2mx+m²+1有两个公共点时m的取值范围．
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