湖南省邵阳市重点学校2023-2024学年高三上学期数学第四...

更新时间：2024-01-08 浏览次数：23 类型：月考试卷

一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. (2022·新高考Ⅱ卷) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 25 C . 9 D . 5

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3. 等比数列{a_n}中，每项均为正数，且a₃a₈＝81，则log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a₁₀等于（）

A . 5 B . 10 C . 20 D . 40

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4. (2023高三上·长沙月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是非零实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2020·新高考Ⅰ) 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵” $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则“阳马” $\text{[math]}$ 的体积最大为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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8. (2022高三上·汕头期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）

A . (-e，2) B . (-e，1-e) C . (1，2) D . $\text{[math]}$

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二、多选题（共4个小题，每个5分，共20分，选对得5分，选错一个得0分，少选得2分）

9. 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小正周期大于 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是偶函数 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象

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10. 设等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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11. 如图，等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ 的位置，连接 $\text{[math]}$ .那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值是 $\text{[math]}$ C . 存在某个位置，使 $\text{[math]}$ D . 在线段 $\text{[math]}$ 上，存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为定值

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12. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍，又数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为等比数列 B . $\text{[math]}$ 为等差数列 C . $\text{[math]}$ 为递增数列 D . $\text{[math]}$

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三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. (2022高一上·淮安期中) 已知关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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14. (2023·全国乙卷) 已知点 $\text{[math]}$ 均在半径为2的球面上， $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. .已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 长的值为.

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16. (2023·全国乙卷) 设 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处有极值2.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最值.
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18. 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数 $\text{[math]}$ 为奇函数；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .
1. （1）从中选择的两个条件的序号为，依所选择的条件求得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
2. （2）在（1）的情况下，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个不等实根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上的射影为底面 $\text{[math]}$ 的中心 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 的面积为1.
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，说明理由.
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20. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. 如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图像，图像的最高点为 $\text{[math]}$ ．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且 $\text{[math]}$ ，游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE ．
1. （1）求曲线段FGBC的函数表达式；
2. （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO长；
3. （3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且 $\text{[math]}$ ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时 $\text{[math]}$ 的值．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立.
  （i）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  （ⅱ）证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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