陕西省西安市长安区2023届高三下学期理数一模试卷

更新时间：2023-03-15 浏览次数：52 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 甲乙两位射击运动员参加比赛，抽取连续6轮射击比赛的成绩情况如下：
甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80
则下列说法中正确的是（）

A . 甲比乙平均成绩高，甲比乙成绩稳定 B . 甲比乙平均成绩高，乙比甲成绩稳定 C . 乙比甲平均成绩高，甲比乙成绩稳定 D . 乙比甲平均成绩高，乙比甲成绩稳定

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3. 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的图象大致为（）

A . B . C . D .

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5. 在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距 $\text{[math]}$ 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距 $\text{[math]}$ 正切值的乘积，即 $\text{[math]}$ ．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（）

A . 1倍 B . 2倍 C . 3倍 D . 4倍

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7. 下列是函数 $\text{[math]}$ 图像的对称轴的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面BCD， $\text{[math]}$ 是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .则下列结论正确的个数是（）
① $\text{[math]}$ ；②若对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ；③若方程 $\text{[math]}$ 恰有3个实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ；④函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ .

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 设a为实数，函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是偶函数，则 $\text{[math]}$ ，此时，曲线 $\text{[math]}$ 在原点处的切线方程为．

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14. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对边分别为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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16. 在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知 $\text{[math]}$ 是滑杆上的一个定点，D可以在滑杆上自由移动，线段 $\text{[math]}$ ，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ，若点E所形成的椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， ____．
在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选____”）
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 的中点，F在 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 设抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， Q在准线上，Q的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，点M到F与到定点 $\text{[math]}$ 的距离之和的最小值为4．
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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20. 某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：
方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：全部回答单选题.
其中每道单选题答对得2分，答错得0分；
多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.
每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名同学，所得结果如下表所示：

男生
女生
选择方案一
100
80
选择方案二
200
120
附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1. （1）能否有90%的把握认为方案的选择与性别有关?
2. （2）小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3.
  ①若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列及数学期望；
  ②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ，求证：
1. （1） $\text{[math]}$ 存在唯一零点；
2. （2）不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， t为参数）．
1. （1）求曲线C的直角坐标方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴的交点为F，且曲线C与直线l交于A、B两点，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数a的取值范围．
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