广东省惠州市2023届高三数学第三次调研试卷

更新时间：2023-02-27 浏览次数：110 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ 或1 D . 0

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2. 等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ 的前2022项和为（）

A . 1011 B . 2022 C . 4044 D . 8088

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3. “ $\text{[math]}$ ”是“方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线”的（）条件

A . 必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知实数 $\text{[math]}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论一定成立的是（）

A . b与c是异面直线 B . a与c没有公共点 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）在R上为减函数，则函数 $\text{[math]}$ 的图像可以是（）

A . B . C . D .

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7. 在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的是（）

A . z的虚部为1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为纯虚数 D . $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于第一象限

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10. (2022高二上·南京月考) 在某市高二举行的一次期中考试中，某学科共有2000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为 $\text{[math]}$ .按照 $\text{[math]}$ 的分组作出频率分布直方图，如图所示.其中，成绩落在区间 $\text{[math]}$ 内的人数为16.则下列结论正确的有（）

A . 样本容量 $\text{[math]}$ B . 图中 $\text{[math]}$ C . 估计该市全体学生成绩的平均分为 $\text{[math]}$ 分 D . 该市要对成绩由高到低前 $\text{[math]}$ 的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . 存在 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 为奇函数 C . 任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 有且仅有2个零点

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12. (2022·永州模拟) 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，直线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与蒙日圆相切 B . $\text{[math]}$ 的蒙日圆的方程为 $\text{[math]}$ C . 记点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 若矩形 $\text{[math]}$ 的四条边均与 $\text{[math]}$ 相切，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 在圆 $\text{[math]}$ 内，过点 $\text{[math]}$ 的最长弦和最短弦分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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16. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在（1，1）处的曲率为；正弦曲线 $\text{[math]}$ （x∈R）曲率的平方 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 条件① $\text{[math]}$ ，
条件② $\text{[math]}$ ，
条件③ $\text{[math]}$ ．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且满足____，
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ， E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面PBC；
2. （2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求点P到平面AEF的距离．
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20. (2022·全国乙卷) 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $\text{[math]}$ ）和材积量（单位： $\text{[math]}$ ），得到如下数据：

样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $\text{[math]}$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $\text{[math]}$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得 $\text{[math]}$ ．

附：相关系数 $\text{[math]}$ ．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $\text{[math]}$ ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 分别在椭圆 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得 $\text{[math]}$ 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
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