江苏省南京市2022届高三下学期数学5月模拟试卷

更新时间：2022-05-23 浏览次数：108 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知R为实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩（ $\text{[math]}$ ）＝（）

A . {－1，0} B . {0，1} C . {－1，0，1} D . $\text{[math]}$

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足z（1－i）＝4－3i，则|z|＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（）

A . 9 B . 18 C . 24 D . 27

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4. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象大致是（）

A . B . C . D .

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5. 我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5¹⁰⁰是（）位数．

A . 71 B . 70 C . 69 D . 68

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6. （1＋x）⁴（1＋2y）a（a∈N*）的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，则a的值为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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7. 已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0， $\text{[math]}$ ）的图象与y轴的交点为M（0，1），与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N（3，0），y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C．若△OBC的面积为 $\text{[math]}$ （其中O为坐标原点），则函数f（x）的最小正周期为（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（）

A . （－1，＋∞） B . $\text{[math]}$ C . （0，＋∞） D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 设 $\text{[math]}$ ，a∈R，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . “a＞1”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件 C . “P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件 D . $\text{[math]}$ a∈（3，＋∞），使得P＜3

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10. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 外 B . 圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相切 C . 若圆 $\text{[math]}$ 截 $\text{[math]}$ 轴所得弦长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到圆 $\text{[math]}$ 上一点的最大距离和最小距离的乘积为 $\text{[math]}$

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11. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（）

A . 事件B与事件C互斥 B . $\text{[math]}$ C . 事件A与事件B独立 D . 记C的对立事件为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径， $\text{[math]}$ 是底面圆的内接正三角形， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . BE∥平面PAC B . PA⊥平面PBC C . 在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为 $\text{[math]}$ D . 记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当 $\text{[math]}$ 时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ ＝（3，2）的数量积为．

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14. 写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 $\text{[math]}$ 的通项公式： $\text{[math]}$ ．
（1）数列 $\text{[math]}$ 是无穷等比数列；（2）数列 $\text{[math]}$ 不单调；（3）数列 $\text{[math]}$ 单调递减．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁与双曲线C₂共焦点，双曲线C₂实轴的两顶点将椭圆C₁的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C₂的离心率为．

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16. 19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值 $\text{[math]}$ 的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 $\text{[math]}$ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为；若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则k的值为．

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四、解答题

17. 在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求sin∠ADC．
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 为等差数列；③ $\text{[math]}$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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19. 如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2， $\text{[math]}$ ，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E．以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°（如图2）．
1. （1）求证：PE⊥CD；
2. （2）若点F在线段PC上，且二面角F－AD－C的大小为30°，求三棱锥F－ACD的体积．
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20. 空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：

空气质量指数AQI	空气质量等级
[0，50]	优
（50，100]	良
（100，150]	轻度污染
（150，200]	中度污染
（200，300]	中度污染
（300，＋¥）	严重污染

下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：

空气质量指数AQI	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]
频数（单位：天）	3	6	15	6

（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）
（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.7⁷≈0.0824，结果精确到0.01）
（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：

更换滤芯数量（单位：个）

3

4

5

概率

0.2

0.3

0.5

已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ＝（x²－x＋1）ex－3， $\text{[math]}$ ，e为自然对数的底数．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）记函数 $\text{[math]}$ 在（0，＋∞）上的最小值为m，证明：e＜m＜3．
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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x²＝4y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y＝x－5上．
1. （1）若点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，求AP的长；
2. （2）若AB＝2AP，求点P的坐标．
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