河南省洛阳市2022届高三理数第三次统一考试试卷

更新时间：2022-05-23 浏览次数：78 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 1 C . -1 D . -3

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . {3} C . {0} D . $\text{[math]}$

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3. 若函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 0 C . 1 D . ±1

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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8. 首位数定理：在 $\text{[math]}$ 进位制中，以数字 $\text{[math]}$ 为首位的数出现的概率为 $\text{[math]}$ ，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 存款金额的首位数字是1的概率约为 $\text{[math]}$ B . 存款金额的首位数字是5的概率约为9.7% C . 存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率 D . 存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%

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9. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有6个极值点，则正整数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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10. 若过点 $\text{[math]}$ 可作出曲线 $\text{[math]}$ 的三条切线，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上异于顶点的动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 的平分线与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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14. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，只有第七项的二项式系数最大，则展开式中常数项是.（用数字作答）

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15. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. 已知点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

17. 影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入.下表是我国某地区2016年-2021年职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）的数据；

年份	2016	2017	2018	2019	2020	2021
职工平均工资	6.6	7.2	7.8	8.5	8.4	9.5
城镇居民消费水平	4.1	5.0	5.2	6.3	5.8	6.6

以 $\text{[math]}$ 表示职工平均工资，以 $\text{[math]}$ 表示城镇居民消费水平，绘制如下散点图：

附：线性回归方程 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（1）请写出从散点图发现的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间关系的一般规律，并求出线性回归方程（精确到0.01）；
（2）请预测2022年的职工平均工资至少多少万元时，城镇居民消费水平才不少于8.11万元？

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18. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. 如图， $\text{[math]}$ 为圆锥的顶点， $\text{[math]}$ 为圆锥底面的圆心， $\text{[math]}$ 为底面直径， $\text{[math]}$ 为底面圆周上一点， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形.
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，请确定点 $\text{[math]}$ 的位置并说明理由；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上位于第一象限内的动点，它到点 $\text{[math]}$ 距离的最小值为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，线段AD的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于E，F两点.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）.
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 的零点的个数，并说明理由；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求整数 $\text{[math]}$ 的最大值.
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 变化时， $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于A，B两点，求线段AB的长.
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23. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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