【探究发现】如图，在正方形中，E为边上一点，将沿BE翻折得到，延长交边于点G求证：；【类比迁移】如图，在矩形中，E为边上一点，且，将沿翻折得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求的长；【实践创新】如图，为等腰三角形，，O为斜边的中点，M

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1. (2023·彭州模拟)
1. （1）【探究发现】如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿BE翻折得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点G.求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）【类比迁移】如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点G，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点H，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）【实践创新】如图， $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ， O为斜边 $\text{[math]}$ 的中点， M，N为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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