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1. (2023·永嘉模拟) 旋转的图形带来结论的奥秘.已知 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ .

初步探索

素材1：

如图①，连接对应点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

素材2：

如图②，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 边上的高 $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切.

问题解决

（1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论.

（ⅱ）如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

深入研究

（2）在 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）如图③，当边 $\text{[math]}$ 恰好经过点 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为▲ .

（ⅱ）若一时边 $\text{[math]}$ 所在直线恰好经过点 $\text{[math]}$ ，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线.（只保留作图痕迹）

（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值为▲ .

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