1. (2021·市南模拟) 如图1，在矩形 中， ，点E ， F分别为 ， 边的中点．动点P从点E出发沿 向点D运动，速度为 ，同时，动点Q从点F出发沿 向点B运动，速度为 ，过点Q作 ，交 于点M ， 连接 ，分别交 于点G ， H ． 设运动时间为 ．

1. （1） 连接 ，当t为何值时，四边形 是平行四边形？
3. （2） 设 的面积为 ，求S与t之间的函数关系式；
5. （3） 是否存在某一时刻t ， 使得 的面积S等于矩形面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
7. （4） 如图2，过点C作 ，垂足为N ， 连接 ，是否存在某一时刻t ， 使得线段 的长度有最小值？若存在，求出线段 的最小值；若不存在，说明理由．