上海市宝山区名校2023-2024学年高一上学期数学第二次质...

更新时间：2024-05-07 浏览次数：4 类型：月考试卷

一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的零点为.

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3. 已知角 $\text{[math]}$ 的顶点为坐标原点，始边与 $\text{[math]}$ 轴正半轴重合，其终边经过 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是第象限角.(填“一”、“二”、“三”或“四”）

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5. 函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间（-∞，4]上是严格减函数，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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7. 已知扇形的弧所对的圆心角为 $\text{[math]}$ ，且半径为 $\text{[math]}$ ，则该扇形的面积为 $\text{[math]}$ ．

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8. 如图，有一长 $\text{[math]}$ 米，宽 $\text{[math]}$ 米的矩形地块，物业计划将其中的矩形 $\text{[math]}$ 建为仓库，要求顶点 $\text{[math]}$ 在地块对角线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，其他地方建停车场和路，设 $\text{[math]}$ 米.则矩形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为.

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在最大值或最小值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是.

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11. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 在满足：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .若不等式 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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12. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则正整数 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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二、选择题（本题满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）

13. 已知 $\text{[math]}$ ，以下不等关系不一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 在用二分法求函数 $\text{[math]}$ 零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为 $\text{[math]}$ ，则下一步应当确定零点位于区间（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，给出以下三个命题正确的个数为（）
①存在实数a ，函数 $\text{[math]}$ 无最小值；
②对任意实数a ，函数 $\text{[math]}$ 都有零点；
③对任意 $\text{[math]}$ ，都存在实数m ，使方程 $\text{[math]}$ 有3个不同的实根．

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，记集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且A、B都不是空集，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）

17. 已知幂函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 图像不过原点.
1. （1）求出 $\text{[math]}$ 的表达式，并写出它的单调区间；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并证明.
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）用定义法证明：函数 $\text{[math]}$ 在定义域上是严格增函数.
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19. “绿水青山就是金山银山”，为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为 $\text{[math]}$ .若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
1. （1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
2. （2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1）
3. （3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为 $\text{[math]}$ （毫克/立方米），其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的表达式和浓度 $\text{[math]}$ 的最小值.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 有零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，是否存在这样的实数 $\text{[math]}$ ，使得方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有且只有一个根？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.
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21. 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为D ，对于区间 $\text{[math]}$ ，若满足以下两条性质之一，则称I为 $\text{[math]}$ 的一个“ $\text{[math]}$ 区间”．
性质1：对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ；
性质2：对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）分别判断区间 $\text{[math]}$ 是否为下列两函数的“ $\text{[math]}$ 区间”（不必说明理由）
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 区间”，求m的取值范围；
3. （3）已知定义在 $\text{[math]}$ 上，且图象连续不断的函数 $\text{[math]}$ 满足：对任意 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 存在“ $\text{[math]}$ 区间”，且存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 不属于 $\text{[math]}$ 的所有“ $\text{[math]}$ 区间”．
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