北京市通州区2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

更新时间：2024-01-13 浏览次数：19 类型：期中考试

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 命题： $\text{[math]}$ 的否定是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ 的对应关系如下表所示，函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的值为（）
$\text{[math]}$
0
3
6
$\text{[math]}$
3
0
6

A . 9 B . 6 C . 3 D . 0

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5. 有限集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数记作 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 都为有限集合，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 设函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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8. 向体积相同且高为 $\text{[math]}$ 的花瓶中，注水注满为止.如果注水量 $\text{[math]}$ 与水深 $\text{[math]}$ 的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（）

A . B . C . D .

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9. 我们知道函数 $\text{[math]}$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，则函数 $\text{[math]}$ 的对称中心是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ 为非零常数， $\text{[math]}$ 为无理数， $\text{[math]}$ ，则以下结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为奇函数 B . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . 若 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 没有实数根 D . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 为单调递增函数

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是.

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12. (2022·上海) 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为

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13. 能说明“ $\text{[math]}$ ”为假命题的一个实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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14. 设函数 $\text{[math]}$ ，若当 $\text{[math]}$ 时，存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.若 $\text{[math]}$ 存在最大值，则实数 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 狄利克雷函数 $\text{[math]}$ 定义为：当自变量取有理数时，函数值为1当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数 $\text{[math]}$ 的性质：
① $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ 成立；
③函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称；
④不存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形.
其中表述正确的是.

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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17. 已知指数函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式
2. （2）试比较 $\text{[math]}$ 这三个数的大小，并说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为偶函数；
2. （2）用定义证明： $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减.
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19. 刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象，也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现：该商品在过去30天内，销售单价 $\text{[math]}$ (单位：百元)与时间 $\text{[math]}$ (单位：天)的函数关系近似满足 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为常数)，日销售量 $\text{[math]}$ (单位：件)与时间 $\text{[math]}$ 的部分数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
Q(x) 180 310 390 420 400 330
已知第5天的日销售收入为216百元.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）给出以下三种函数模型(1) $\text{[math]}$ ；(2) $\text{[math]}$ ；(3) $\text{[math]}$ .
  请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的变化关系，并求出函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （3）记该商品在这30天内的日销售收入为 $\text{[math]}$ (单位：百元)，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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20. 设函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中的较大者，记为 $\text{[math]}$ ，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知.
条件（1）： $\text{[math]}$
条件（2）： $\text{[math]}$ 恒成立.
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
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21. 已知正整数集合 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ .若存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ 是集合中的 $\text{[math]}$ 最大值.
1. （1）判断集合 $\text{[math]}$ 和集合 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ，直接写出结论；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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