北京市三帆中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

更新时间：2021-01-18 浏览次数：333 类型：期中考试

一、单选题

1. 二次函数 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 1 B . －1 C . －2 D . －3

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2. 2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分类.下列垃圾分类标志分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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3. 将抛物线 $\text{[math]}$ 平移，得到抛物线y=2（x+4）²+1，下列平移方法正确的是（）

A . 先向左平移4个单位，在向上平移1个单位 B . 先向左平移4个单位，在向下平移1个单位 C . 先向右平移4个单位，在向上平移1个单位 D . 先向右平移4个单位，在向下平移1个单位

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4. 反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 在圆上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . 32° B . 64° C . 68° D . 58°

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6. 如图，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆上的两个点，且 $\text{[math]}$ ，下列结论中不一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图为二次函数 $\text{[math]}$ 的图象，此图象与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法： $\text{[math]}$ ；方程 $\text{[math]}$ 的根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大； $\text{[math]}$ .正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 3

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8. 弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，（晓观数学）其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”.图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出 $\text{[math]}$ ，再将 $\text{[math]}$ 三等分，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点.接着，成员乙分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为 $\text{[math]}$ ，成员乙所在的位置为 $\text{[math]}$ ，若将射线 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量 $\text{[math]}$ （单位：°， $\text{[math]}$ ），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），绘制出两个函数的图象（如图3）.
结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ B . 图3中 $\text{[math]}$ 的值为270 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ₁取得最大值12 D . 检测仪器放置在点 $\text{[math]}$ 处

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二、填空题

9. 将二次函数 $\text{[math]}$ 化为 $\text{[math]}$ 的形式为 $\text{[math]}$ .

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10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是．

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11. 在半径为2的圆中，圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形面积为.

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12. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的两个交点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则使得关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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13. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为．

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14. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为切点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为(0，－2)，半径为1的动圆 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴正方向运动，若运动后 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相切，则点 $\text{[math]}$ 的运动距离为.

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16. 如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l经过点A，作CE⊥l于点E，连接BE.则当直线 $\text{[math]}$ 绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是．

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三、解答题

17. 解方程： $\text{[math]}$ .

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18. 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）请选择一个符合条件的 $\text{[math]}$ 的值，并求此时方程的根.
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19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

①作射线OP；

②在直线OP外任取一点A ，以点A为圆心，AP为半径作⊙A ，与射线OP交于另一点B；

③连接并延长BA与⊙A交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求．

根据小元设计的尺规作图过程，
1. （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
2. （2）完成下面的证明：
  证明：∵ BC是⊙A的直径，
  
  ∴∠BPC=90°（ ▲ ）（填推理的依据）．
  
  ∴OP⊥PC ．
  
  又∵OP是⊙O的半径，
  
  ∴PC是⊙O的切线（ ▲ ）（填推理的依据）．
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20. 如图， $\text{[math]}$ 的半径为2，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，圆心 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的度数.
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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 坐标及反比例函数的表达式；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在反比例函数的图象上，当 $\text{[math]}$ 的面积为1时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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22. 若二次函数 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的部分对应值如下表：

$\text{[math]}$	…	－4	－3	－2	－1	0	1	…
$\text{[math]}$	…	－5	0	3	4	3	0	…

（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象（不用列表）；
（3）结合函数图象，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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23. 为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知实心球出手处 $\text{[math]}$ 距离地面的高度是 $\text{[math]}$ 米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度 $\text{[math]}$ 米的 $\text{[math]}$ 处，实心球的落地点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图，已知 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点 $\text{[math]}$ 的坐标为；
2. （2）小明此次投掷的成绩是多少米？
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24. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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25. 已函数 $\text{[math]}$ ，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质：

（1）自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围是；

（2） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值如下表，请补全表格：

$\text{[math]}$	…	－2.5	－2	－1.5	－1	－0.5	－0.2	0.2	0.5	1	1.5	2	2.5	…
$\text{[math]}$	…	5.85	3.5	1.58	0	－1.75	－4.96	5.04	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	2.92	4.5	6.65	…

其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；
（4）请写出这个函数的一条性质：；
（5）结合图象，直接写出方程 $\text{[math]}$ 的所有实根：.

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26. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$
1. （1）求抛物线的顶点坐标（用 $\text{[math]}$ 表示）；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在第一象限，且 $\text{[math]}$ ，求抛物线的解析式；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若抛物线与线段 $\text{[math]}$ 有公共点，结合函数图象，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围
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27. 已知：过 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 作两条弦 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都不经过 $\text{[math]}$ ）过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）请在图1中，按要求补全图形；
2. （2）在图2中探索线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；
3. （3）探索线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系，并直接写出你的结论.
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28. 平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离可以利用公式 $\text{[math]}$ .
我们定义点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的轴距为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，称点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的倍轴点.
1. （1）已知点 $\text{[math]}$ ，则在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 的倍轴点.
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是原点 $\text{[math]}$ 的倍轴点，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为非负数的时候，所有满足要求的点 $\text{[math]}$ 组成了图形 $\text{[math]}$ ，请你在图1中画出图形 $\text{[math]}$ ，并描述图形 $\text{[math]}$ 的特点；
3. （3） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为1点 $\text{[math]}$ 的倍轴点在 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的取值范围； $\text{[math]}$ 上正好存在四个点 $\text{[math]}$ 的倍轴点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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