如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧AB 的中点.

1.如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧AB 的中点.

(1) 求证：四边形AOBD是菱形；

(2) 延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是⊙O的切线

【考点】

等边三角形的判定与性质; 菱形的判定; 圆心角、弧、弦的关系; 切线的判定;

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综合题常考题普通

举一反三

换一批

1.如图，点E为△ABC的外接圆⊙O上一点，OE⊥BC于点D，连接AE并延长至点F，使∠FBC＝∠BAC，

(1) 求证：直线BF是⊙O的切线；

(2) 若点D为OE中点，过点B作BG⊥AF于点G，连接DG，⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ,AC=5.

①求∠BAC的度数；

②求线段DG的长.

综合题常考题困难

2.已知： $\text{[math]}$ 是经过点A的一条直线，点C是直线 $\text{[math]}$ 左侧的一个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转60°，得到线段 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上取一点B ，使 $\text{[math]}$ ．

(1) 若点C位置如图1所示．

①依据题意补全图1；

②求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，写出一个 $\text{[math]}$ 的值，使得对于任意一点C ，总有 $\text{[math]}$ ，并证明．

综合题模拟题困难

3.在“学本课堂”的实践中，王老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习.

（课堂提问）王老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？

（互动生成）经小组合作交流后，各小组派代表发言.

(1) 小华代表第3小组发言：AB=2BC．请你补全小华的证明过程.

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，

即：点B、C、D共线.（请在下面补全小华的证明过程）

(2) 受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，若BC=1，求AB的长.

(3) （思维拓展）如图3，在四边形ABCD中，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，且AC=3，则△ABD的周长为________.

(4) （能力提升）如图4，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，则AD、DB、BC三者之间的相等关系是________.

综合题常考题困难

4.如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S_四边形_AOBO′＝6+3 $\text{[math]}$ ；其中正确的结论是（）

A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②

单选题常考题普通

5.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．

(1) 求证：DH是⊙O的切线；

(2) 若⊙O的半径为4，

①当AE＝FE时，求 $\text{[math]}$ 的长（结果保留π）；

②当 $\text{[math]}$ 时，求线段AF的长．

综合题模拟题困难