1. (2023八上·合江期中) 如图，△ABC是等边三角形，AB=6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

1. （1） 当∠BQD=30°时，求AP的长；
3. （2） 证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点．