如图，在菱形中，，点P在边上，过点P作，分别交直线于点Q，M．

1. (2023·天河模拟) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上，过点P作 $\text{[math]}$ ，分别交直线 $\text{[math]}$ 于点Q，M．
1. （1）当点P与点D重合时，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）设 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为S， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求S的最大值；
5. （3）若以线段 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 的右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 长最小时，求 $\text{[math]}$ 的值．