在矩形中，，，点M为边上一点，连接．

1. (2023·成都模拟) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M为边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，得到对应的 $\text{[math]}$ ．
  i）如图1，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点E，若点E恰为边 $\text{[math]}$ 中点，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
  ii）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）如图3，若 $\text{[math]}$ ，点P为边 $\text{[math]}$ 上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点F，在点P的运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．