如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，、的长分别是方程的两根（），抛物线过、两点．

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1. (2023·阳山模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长分别是方程 $\text{[math]}$ 的两根（ $\text{[math]}$ ），抛物线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）如图2，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在抛物线上的点 $\text{[math]}$ 处，求 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3）有一平行于 $\text{[math]}$ 轴的动直线 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 轴开始以一个单位长度每秒的速度向右平移，平移到与 $\text{[math]}$ 重合为止．直线 $\text{[math]}$ 扫过 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ （如图3的阴影部分），运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，试求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出相应 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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