综合与实践：问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．试猜想线段的数量关系并加以证明．

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1. (2023·昔阳模拟) 综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E分别作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交直线 $\text{[math]}$ 于点F，G．试猜想线段 $\text{[math]}$ 的数量关系并加以证明．
1. （1）数学思考：
  请解答上述问题；
3. （2）问题解决：
  如图2，在图1的条件下，将“正方形 $\text{[math]}$ ”改为“矩形 $\text{[math]}$ ”，其他条件不变．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）问题拓展：
  在（2）的条件下，当点E为 $\text{[math]}$ 的中点时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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