某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

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1. (2023·青岛模拟) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
1. （1） [观察与猜想]
  如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为＝；
3. （2）如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．
5. （3） [性质探究]
  如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．求证： $\text{[math]}$ ；
7. （4） [拓展延伸]已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
  如图④，点P是 $\text{[math]}$ 上的点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上．求 $\text{[math]}$ 的值；
9. （5）如图⑤，点P是 $\text{[math]}$ 上的一点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点G．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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