如图1，已知中，，，，点在上，连结，作，交的外接圆于点，连结和．

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1. (2023·舟山模拟) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．在思考的过程中，小浔同学得到了如下思维分析图：
  
  请根据上述思维分析图，写出完整证明过程．
3. （2）如图2，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
  
  ②是否存在 $\text{[math]}$ 的值，使得 $\text{[math]}$ 恰好是 $\text{[math]}$ 的直径，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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