如图【问题提出】正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？【问题探究】如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点

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1. (2023·青岛模拟) 如图

【问题提出】

正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径 $\text{[math]}$ 和中心角有什么关系？

【问题探究】

如图①， $\text{[math]}$ 是等边三角形，半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是中心角， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内任意一点， $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 各边距离 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的边长是 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ， ①

∵ $\text{[math]}$ 又可以表示 $\text{[math]}$ ②

联立①②得 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$
1. （1）【问题解决】
  如图②，五边形 $\text{[math]}$ 是正五边形，半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是中心角， $\text{[math]}$ 是五边形 $\text{[math]}$ 内任意一点， $\text{[math]}$ 到五边形 $\text{[math]}$ 各边距 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，参照（1）的分析过程，探究 $\text{[math]}$ 的值与正五边形 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ 及中心角的关系．
3. （2）【性质应用】
  正六边形（半径是 $\text{[math]}$ ）内任意一点 $\text{[math]}$ 到各边距离之和 $\text{[math]}$ ．
5. （3）如图③，正 $\text{[math]}$ 边形（半径是 $\text{[math]}$ ）内任意一点 $\text{[math]}$ 到各边距离之和 $\text{[math]}$ ．

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