在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为，所以．这种特殊的关系被称为勾股定理．勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和

1. (2022七下·历下期末) 在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．这种特殊的关系被称为勾股定理．
勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《几何原本》）．
1. （1）赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为．于是得到等式；化简后可得 $\text{[math]}$ ．
3. （2）欧几里得的证明方法：
  ①如图3，设 $\text{[math]}$ 的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做 $\text{[math]}$ 交HK于N，交BC于M，首先请证明 $\text{[math]}$
  ② $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ 正方形ADEB与 $\text{[math]}$ 同底等高，长方形BHNM与 $\text{[math]}$ 同底等高，
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =，
  $\text{[math]}$ ，
  同理可得 $\text{[math]}$
  所以： $\text{[math]}$
  即 $\text{[math]}$ ．

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