已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立．

1. (2022·昌平模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ，给出两个性质：
①对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 成立；
②对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 成立．
1. （1）已知数列 $\text{[math]}$ 满足性质①，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试写出 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，证明：数列 $\text{[math]}$ 满足性质①；
5. （3）若数列 $\text{[math]}$ 满足性质①②，且当 $\text{[math]}$ 时，同时满足性质①②的 $\text{[math]}$ 存在且唯一.证明：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．