下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为 ”尺规作图的过程．已知：如图，．求作：矩形，使矩形内接于，对角线与的夹角为作法：①作的直径； ②以点A为圆心，长为半径作弧．交

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1. (2022·门头沟模拟) 下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为 $\text{[math]}$ ”尺规作图的过程．
已知：如图， $\text{[math]}$ ．

求作：矩形 $\text{[math]}$ ，使矩形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$

作法：①作 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ；

②以点A为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧．交直线 $\text{[math]}$ 上方的圆于点B；

③连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点D；

④顺次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

四边形 $\text{[math]}$ 就是所求作的矩形，

根据小明设计的尺规作图过程
1. （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
3. （2）完成下面的证明．
  证明：∵点A，C都在 $\text{[math]}$ 上，
  
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  ∴四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．（          ）（填推理依据）．
  
  又 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，
  
  $\text{[math]}$ （          ）（填推理依据）．
  
  ∴四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．
  
  又 $\text{[math]}$    ▲   ．
  
  $\text{[math]}$ 是等边三角形．
  
  $\text{[math]}$
  
  ∴四边形 $\text{[math]}$ 是所求作的矩形．

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