1. (2021八下·兖州期末) 综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动一一折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．

1. （1） 实践发现：

   对折矩形纸片ABCD ， 使AD与BC重合，得到折痕EF ， 把纸片展平；再一次折叠；纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B ， 得到折痕BM ， 把纸片展平，连接AN ， 如图①．

   折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出 ；

3. （2） 继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B ， 得到折痕BG ， 把纸片展平，如图②，则 ；
5. （3） 拓展延伸：

   如图③，折叠矩形纸片ABCD ， 使点A落在BC边上的点 处，并且折痕交BC边于点T ， 交AD边于点S ， 把纸片展平，连接 交ST于点O ， 连接AT ， ．

   求证：四边形 是菱形．

7. （4） 解决问题：

   如图④，矩形纸片ABCD中， ， ，点S是边AD上的一动点，折叠纸片，使点A落在BC边上的点 处，并且折痕过点S ， 交AB边于点T ， 把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT长度的取值范围，请你求出线段AT长度的取值范围．