如图，矩形中，，点E是边上的一点，点F是边延长线上的一点，且．连接，交于点O ，过E作，垂足为P ．

1. (2021·天河模拟) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，点F是边 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点O ，过E作 $\text{[math]}$ ，垂足为P ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ 长为定值；
5. （3）记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为Q ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．