1. (2021·成都模拟) 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为边BC，AC上的点，连接DE，过D作DF⊥DE交AC边于点F（F不与点C重合），点G为射线DF上一点，连接EG，使∠BAC＝∠DEG＝α.

1. （1） 连接CG，求证：△DEF∽△CGF；
3. （2） 当α＝45°时，请探究AE，BD与CG三者满足的数量关系，并证明；
5. （3） 如图2，点M，N分别为EG和AC的中点，连接MN.若tanα＝2，BD＝ CD，AC＝10，请直接写出MN的最小值.