如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N.解答下列问题：

1. (2020·黔南) 如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N.解答下列问题：
1. （1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；
3. （2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
5. （3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF.若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积.

能力提升真题演练换一批

1. (2022·海珠模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A（﹣2，0）和B（2，0）．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）取抛物线上异于A、B的一个动点C，作C关于x轴的对称点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于点D．
  ①记直线CD与x轴的夹角为α（α＜90°），求α；
  ②如果△ADC覆盖的区域内的点一定分布在四个象限内，且△ADC内角中有一个钝角β满足105°<β<135°，求点C横坐标的取值范围．
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2. (2023·江西) 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在同一直线上， $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ．（结果保小数点后一位）
1. （1）连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
  （参考数据： $\text{[math]}$ ）
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3. (2022·九江模拟)
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC=90°，∠DAC=∠C．求证：AD=BD．
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1. (2021·仙桃) 如图1，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度在线段 $\text{[math]}$ 上向点C运动， $\text{[math]}$ 分别与射线 $\text{[math]}$ 交于E，F两点，且 $\text{[math]}$ ，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分面积为 $\text{[math]}$ ，y与x的函数关系由 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两段不同的图象组成.
1. （1）填空：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ ；
2. （2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出x的取值范围.
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2. (2022·安徽) 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
1. （1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
2. （2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
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3. (2021·怀化) 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
3. （3） D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.
4. （4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
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