如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接 .

1. (2019·青海) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）证明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.

能力提升真题演练换一批

1. (2021·安阳模拟) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E从A向D以每秒 $\text{[math]}$ 的速度匀速移动.点M从B向A以每秒 $\text{[math]}$ 的速度匀速移动，延长 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为t秒 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）填空：当t的值为时， $\text{[math]}$ 是直角三角形.
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2. (2022·蚌埠模拟) 某校初中数学综合实践开展了多彩的活动．在一次活动中，某兴趣小组学习了以下史料：魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高：如图，点 $\text{[math]}$ ， H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高 $\text{[math]}$ ．
1. （1）该兴趣小组学过解直角三角形后，对该问题的测量方法进行了改良：测得两次测量点之间的距离 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出海岛的高AB（其中 $\text{[math]}$ ）．（结果保留两位小数，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
2. （2）证明：海岛的高 $\text{[math]}$ ．
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3. (2021·房山模拟) 已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰 $\text{[math]}$ ，使得A ， D两点在直线 $\text{[math]}$ 的同侧，过点D作 $\text{[math]}$ 于点E ．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求 $\text{[math]}$ 的度数；
  
  ②判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．
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1. (2021·杭州) 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E。已知∠ABC=60°，∠C=45°。
1. （1）求证：AB=BD；
2. （2）若AE=3，求△ABC的面积。
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2. (2022·烟台) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
1. （1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
2. （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
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3. (2021·鄂尔多斯) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D ， $\text{[math]}$ 于点E ，直线 $\text{[math]}$ 于点F ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点H ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2019·青海) 如图，在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 .

使用过本题的试卷

1. (2019·青海) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .