1. (2019·江西) 数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为 $\text{[math]}$ 的铅笔 $\text{[math]}$ 斜靠在垂直于水平桌面 $\text{[math]}$ 的直尺 $\text{[math]}$ 的边沿上，一端 $\text{[math]}$ 固定在桌面上，图2是示意图．

（1）活动一
如图3，将铅笔 $\text{[math]}$ 绕端点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当旋转至水平位置时，铅笔 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合．
数学思考
设 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．
①用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示： $\text{[math]}$ 的长是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长是 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式是，自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

（2）活动二

①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．

$\text{[math]}$	6	5	4	3.5	3	2.5	2	1	0.5	0
$\text{[math]}$	0	0.55	1.2	1.58	1.0	2.47	3	4.29	5.08

②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点 $\text{[math]}$ ．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

能力提升真题演练换一批

1. (2021·姑苏模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点D，交 $\text{[math]}$ 边于点E.过点D作 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径.
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2. (2022·滨州模拟) 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，A为CD中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点E，过B作 $\text{[math]}$ ，交CD延长线于F．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）延长FB交AO延长线于M．若 $\text{[math]}$ ，求BM的长．
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3. (2022·梧州模拟) 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，底边BC的高AD与腰AC上的高BE相交于点F，且AE=BE，⊙O是△AEF的外接圆，连接DE.
1. （1）求证：DE是⊙O的切线；
2. （2）求证：DF•BC=EF•BF.
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1. (2022·河南) 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内.当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.
1. （1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°.
2. （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得 $\text{[math]}$ .已知铁环⊙O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长.
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2. (2021·广东) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 相切；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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3. (2021·贺州) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该抛物线的函数达式；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且在第一象限与抛物线交于点 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 在抛物线上与点 $\text{[math]}$ 关于对称轴对称，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，令 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值（可含 $\text{[math]}$ 表示）.
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