如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC 轴于点C，交抛物线于点D．

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1. (2018·衡阳) 如图，已知直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 轴于点C，交抛物线于点D．
1. （1）若抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
  ①求点M、N的坐标；
  
  ②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
3. （2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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