湖南省常德市2024年高三下学期3月模拟考试数学试题

更新时间：2024-05-14 浏览次数：17 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知奇函数 $\text{[math]}$ 是定义域为R的连续函数，且在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在R上单调递增 B . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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4. 如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 $\text{[math]}$ ，
且 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 靠近 $\text{[math]}$ 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 均为单位向量，且夹角为 $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共面，且满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . 9 B . 10 C . 18 D . 19

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8. 设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%. 从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）

A . 数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7 B . 样本数据 $\text{[math]}$ 与样本数据 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则两组样本数据的方差相同 C . 若随机事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相互独立 D . 若 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，则 $\text{[math]}$

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10. 过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于A，B两点，线段AB的中点为 $\text{[math]}$ ，抛物线的焦点为 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 以AB为直径的圆过坐标原点 B . $\text{[math]}$ C . 若直线 $\text{[math]}$ 的斜率存在，则斜率为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 12

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11. 若函数 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于A、B两点，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 若复数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线的左、右两支分别相交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的另一交点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，且 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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16. 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间 $\text{[math]}$ （天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
1. （1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的
  天数，求X的分布列和数学期望；
2. （2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下
  的数据求出每天普及的人数y关于天数 $\text{[math]}$ 的线性回归方程.
  （参考数据：
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
  附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\text{[math]}$ ）.
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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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18. 已知O为坐标原点，椭圆C： $\text{[math]}$ 的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上极值点的个数并证明；
2. （2）函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的极值点从小到大分别为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.
  ①证明： $\text{[math]}$ ；
  ②试问是否存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.
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