浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期数学开学考试...

更新时间：2024-05-13 浏览次数：14 类型：开学考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录.如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径 $\text{[math]}$ ，下底直径 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，则该米斗的容积大概为（）

A . 9升 B . 15升 C . 19升 D . 21升

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5. 有一组数据： $\text{[math]}$ ，去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据.与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是（）

A . 平均数 B . 众数 C . 中位数 D . 极差

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则“ $\text{[math]}$ 是等差数列”是“ $\text{[math]}$ 为等差数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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8. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的一个极大值点，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的奇函数 C . 曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. 三棱锥 $\text{[math]}$ 各顶点均在半径为2的球 $\text{[math]}$ 的表面上， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ . B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为1 D . 点 $\text{[math]}$ 形成的轨迹长度为 $\text{[math]}$

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11. 日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量 $\text{[math]}$ ，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数 $\text{[math]}$ ，寿命恰好为 $\text{[math]}$ 的植物在所有寿命不小于 $\text{[math]}$ 的植物中的占比为 $\text{[math]}$ .记“一株植物的寿命为 $\text{[math]}$ ”为事件 $\text{[math]}$ ， “一株植物的寿命不小于 $\text{[math]}$ ”为事件 $\text{[math]}$ .则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等比数列 D . 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知正实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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13. 已知 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的渐近线的一个交点，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 有唯一零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的形状；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为1，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值.
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16. 如图，在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得点 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ 的位置，得到四棱锥 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.
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17. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求比赛结束时，三人总积分 $\text{[math]}$ 的分布列与期望；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
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18. 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，当直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合 $\text{[math]}$ 的函数称为 $\text{[math]}$ 次置换.满足对任意 $\text{[math]}$ 的置换称作恒等置换.所有 $\text{[math]}$ 次置换组成的集合记作 $\text{[math]}$ .对于 $\text{[math]}$ ，我们可用列表法表示此置换： $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明：对任意 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为恒等置换；
3. （3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
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