北京市第七中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

更新时间：2024-04-18 浏览次数：12 类型：期中考试

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1. 下列ApBp图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

A . B . C . D .

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2. 抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021九上·无锡期中) 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（）

A . 20° B . 40° C . 80° D . 70°

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象上有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，则 $\text{[math]}$ 的大小关系（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （m为常数）的图象与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，则关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2019九上·北京期中) 已知一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 部分自变量和对应的函数值如表：

x	…	-1	0	2	4	5	…
y₁	…	0	1	3	5	6	…
y₂	…	0	-1	0	5	9	…

当y₂＞y₁时，自变量x的取值范围是（）

A . -1＜x＜2 B . 4＜x＜5 C . x＜-1或x＞5 D . x＜-1或x＞4

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7. ⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点个数（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为 $\text{[math]}$ 的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg ，原价为30元/kg ，此时日销量为10kg ，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg ，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（）

A . ① B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 把抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．

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10. (2022九上·东城期末) 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则c的值可以是．

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11. 如图， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 相切于点A ， B ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的半径等于．

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12. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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13. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为．

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14. (2021九上·东城期末) 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为．

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15. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好36平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是．

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16. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ． P是第一象限内任意一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则我们把 $\text{[math]}$ 叫做点P的“双角坐标”．
1. （1）点 $\text{[math]}$ 的“双角坐标”为；
2. （2）若点P到x轴的距离为1，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．
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三、解答题（共68分，第17题6分，第18题4分，第19题4分，第20题5分，第21-24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17. 解方程：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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18. 已知二次函数的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，求这个函数的表达式．

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19. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， $\text{[math]}$ ．
求作：直线BD ，使得 $\text{[math]}$ ．
作法：如图，
①分别作线段AC ， BC的垂直平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点D；
④作直线BD ．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
1. （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
2. （2）完成下面的证明．
  证明：连接AD ，
  ∵点A ， B ， C ， D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  ∴ $\text{[math]}$ （）（填推理的依据）．
  ∴ $\text{[math]}$ ．
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20. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是直径， $\text{[math]}$ 是弦，且 $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．

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21. (2021九上·海淀期末) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：方程总有两个实数根；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
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22. 已知二次函数的解析式是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）与y轴的交点坐标是，顶点坐标是．
2. （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线：
  x
  …
  
  …
  y
  …
  
  …
3. （3）结合图象回答：当 $\text{[math]}$ 时，函数值y的取值范围是．
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23. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的三个顶点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕原点逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 右平移6个单位，再向上平移2个单位得到 $\text{[math]}$ ．
1. （1）画出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ 经旋转后点A的对应点分别为 $\text{[math]}$ ，经平移后点A的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 经旋转、平移后点P的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 请写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 直接旋转得到 $\text{[math]}$ ，则旋转点M的坐标是．
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24. (2022九上·东城期末) 如图，点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，交 $\text{[math]}$ 于点E，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ °， $\text{[math]}$ ，求DF的长．
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25. (2022·大兴模拟) 一个滑雪者从山坡滑下，如果不计其他因素，经测量得到滑行距离y（单位：米）与滑行时间x（单位：秒）的数据（如下表）：
滑行时间x（秒）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
58
滑行距离y（米）
0
1.2
2.6
4.4
6.4
8.8
11.4
14.4
17.6
…
2134.4
请解决以下问题：
1. （1）如下图，在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值描点 $\text{[math]}$ ，请你用平滑曲线连接描出的这些点；
2. （2）当滑雪者滑行3秒时，滑行距离是米；
3. （3）下面三个推断：
  ①曲线上每一个点都代表x的值与y的值的一种对应
  ②自变量x的取值范围是 $\text{[math]}$
  ③滑行最远距离是2134.4米
  所有推断正确的序号是
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26. 已知关于x的二次函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，则mn；（填“＞”，“＜”或“=”）
3. （3） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线上的任意两个点，若对于 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求t的取值范围．
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27. 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中，D ， E分别是边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，点C与点F关于 $\text{[math]}$ 对称，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于G ．
1. （1）连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小；（用α的式子表示）
3. （3）用等式表示线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．
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28. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，将图形 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称得到图形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，将 $\text{[math]}$ 的最大值称为图形 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“对称长度”．
1. （1）若圆 $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ；
  ①在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个点中，关于直线 $\text{[math]}$ 的“对称长度”为 $\text{[math]}$ ；
  ②已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，关于 $\text{[math]}$ 的“对称长度”为 $\text{[math]}$ 的是；
2. （2）圆 $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，直线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始，绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转到 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 旋转过程中，求正方形 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“对称长度” $\text{[math]}$ 的取值范围．
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