黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024届高三上学期数学8月...

更新时间：2023-09-07 浏览次数：27 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知事件A ， B满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 0.7 B . 0.42 C . 0.5 D . 0.6

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3. 元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某田地生长的小麦的株高 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）
（附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 0.6827 B . 0.8186 C . 0.9545 D . 0.9759

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5. 有 $\text{[math]}$ 张奖券，其中 $\text{[math]}$ 张可以中奖，现有 $\text{[math]}$ 个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件 $\text{[math]}$ “第 $\text{[math]}$ 个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互斥 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个红球和1个白球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到红球的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

7. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A ， B ， C ， D ， E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）

A . 所有可能的方法有 $\text{[math]}$ 种 B . 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C . 如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种 D . 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

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8. $\text{[math]}$ 的展开式中第 $\text{[math]}$ 项和第 $\text{[math]}$ 项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）

A . 第 $\text{[math]}$ 项的二项式系数最大 B . 所有奇数项二项式系数的和为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

9. 牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间 $\text{[math]}$ （单位：天）和牛膝的根部直径 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的统计表如下：

$\text{[math]}$

20

30

40

50

60

$\text{[math]}$

0.8

1.3

2.2

3.3

4.5

由上表可得经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，若此农户准备在 $\text{[math]}$ 时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第天．

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10. 某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若有 $\text{[math]}$ 的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则 $\text{[math]}$ 的所有可能取值个数是个

	对工作满意	对工作不满意
男	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
女	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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11. 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆的两个焦点，过 $\text{[math]}$ 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 是正三角形，则该椭圆的离心率为．

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四、解答题

12. 随着人们收入水平的提高，特色化､差异化农产品的消费需求快速增长，精品农产品获得广大消费者的认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标的水果，再按重量进行分类装箱.现从同批采摘､分拣后堆积的水果堆中随机抽取了30个水果进行称重（为方便称重，按5克为一级进行分级），统计对应的水果重量，得柱状图如下.
1. （1）估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量（精确到整数位）；
2. （2）在样本内，从重量不低于80克的水果中，随机选取2个，记其中选取到水果重量不低于90克的个数为X ，求X的分布列和数学期望；
3. （3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取n个水果，若要求其中至少有一个水果的重量不低于80克的概率不低于 $\text{[math]}$ ，求n的最小值.
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13. 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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14. 如图，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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