浙江省宁波市2023届高三下学期数学4月模拟（二模）试卷

更新时间：2023-04-29 浏览次数：93 类型：高考模拟

一、单选题

1. 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设i为虚数单位，若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则z的虚部为（）

A . -2 B . -1 C . 1 D . 2

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3. 设随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布， $\text{[math]}$ 的分布密度曲线如图所示，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知非零向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（）

A . $\text{[math]}$ 寸 B . 2寸 C . $\text{[math]}$ 寸 D . 3寸

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上没有最小值，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 10

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7. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的零点个数为（）

A . 2023 B . 2025 C . 2027 D . 2029

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二、多选题

9. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位： $\text{[math]}$ ）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（）

A . 5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关 B . 9号的最高气温与最低气温的差值最大 C . 最高气温的众数为 $\text{[math]}$ D . 5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是偶函数， $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 于点O，A，B是平面 $\text{[math]}$ 上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . SA与SB所成的角可能为 $\text{[math]}$ B . SA与OB所成的角可能为 $\text{[math]}$ C . SO与平面SAB所成的角可能为 $\text{[math]}$ D . 平面SOB与平面SAB的夹角可能为 $\text{[math]}$

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12. 三支不同的曲线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的焦点，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为定值 B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值与最小值的差为2，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 写出一个半径为1，且与圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 均外切的圆的方程．

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15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数 $\text{[math]}$ ，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （m为正整数）， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则m所有可能取值的集合为．

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16. 正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足 $\text{[math]}$ ，记四面体ABCD的内切球为球 $\text{[math]}$ ，四面体PBCD的外接球为球 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的最大角为最小角的2倍，求a的值．
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18. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有 $\text{[math]}$ 的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：

A款盲盒套餐
B款盲盒套餐
合计
年龄低于30岁
18
30
48
年龄不低于30岁
22
10
32
合计
40
40
80
附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，
P（ $\text{[math]}$ ）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
5.024
6.635
0.828
1. （1）根据 $\text{[math]}$ 列联表，判断是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；
2. （2）甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量 $\text{[math]}$ 为其中隐藏款X的个数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
3. （3）某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面ABCD；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求BC的长．
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20. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求首项 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求满足 $\text{[math]}$ 的最大正整数n的值．
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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与双曲线上的点的距离的最小值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线E的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求直线l的方程．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性：
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两不等实根，求证：
  （i） $\text{[math]}$ ；
  （ii） $\text{[math]}$ ．
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