上海市虹口区2023届高三下学期数学期中试卷

更新时间：2023-04-29 浏览次数：48 类型：高考模拟

一、填空题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为.

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3. 复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. 抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到其焦点的距离为.

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5. 已知 $\text{[math]}$ 是第二象限的角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是.

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7. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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8. 对于定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则该函数的值域为.

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9. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为.

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10. 已知 $\text{[math]}$ 是球 $\text{[math]}$ 的球面上两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为6，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为.

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11. 过原点的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右两支分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的右焦点，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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12. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且对任意的实数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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二、单选题

13. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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14. (2021·新乡模拟) 某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 $\text{[math]}$ ，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 对于函数 $\text{[math]}$ ，给出下列结论：
（1）函数 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 对称；
（2）函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ ；
（3）将函数 $\text{[math]}$ 的图像向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到函数 $\text{[math]}$ 的图像；
（4）曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（）

A . （1）（2） B . （2）（3） C . （2）（4） D . （1）（3）

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16. 在数列 $\text{[math]}$ 中，若有 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正整数，且 $\text{[math]}$ ），就有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“递等数列”.已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，将“递等数列” $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和记为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4720 B . 4719 C . 4718 D . 4716

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三、解答题

17. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求正整数 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 如图，在圆锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面的直径， $\text{[math]}$ 是底面圆周上的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 电解电容是常见的电子元件之一.检测组在 $\text{[math]}$ 的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
1. （1）铝䈹是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在 $\text{[math]}$ 的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下 $\text{[math]}$ 列联表，那么他们是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由；
  
  电解电容为次品
  电解电容为正品
  铝箔为次品
  174
  76
  铝箔为正品
  108
  142
2. （2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.
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20. 已知动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离和它到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比等于 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹记为曲线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点 $\text{[math]}$ .
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21. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 不等式 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若存在直线 $\text{[math]}$ ，其与曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 共有3个不同交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 成等比数列.
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