广东省梅州市2023届高三数学二模试卷

更新时间：2023-04-29 浏览次数：107 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 用二分法求方程 $\text{[math]}$ 近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 把正整数按下图所示的规律排序，则从2021到2023的箭头方向依次为（）

A . B . C . D .

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当ω取最小的可能值时， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若直线l： $\text{[math]}$ 将圆C： $\text{[math]}$ 分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型 $\text{[math]}$ （其中e为自然对数的底数）拟合，设 $\text{[math]}$ ，得到数据统计表如下：
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
$\text{[math]}$
2
2.4
3
3.6
4
由上表可得经验回归方程 $\text{[math]}$ ，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设函数 $\text{[math]}$ 在R上存在导数 $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的既不充分也不必要条件 B . 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ” C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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10. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是（）

A . 当且仅当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ C . 存在θ，使得 $\text{[math]}$ D . 存在θ，使得 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是一个最小正周期为 $\text{[math]}$ 的周期函数 B . $\text{[math]}$ 是一个偶函数 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，最大值为 $\text{[math]}$

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，E为边AD的中点，点P为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，设 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，EP//平面 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值，其值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 平面CEP时， $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 处的切线在y轴上的截距为2，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. 半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为

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15. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 $\text{[math]}$ ，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为．

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16. 有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为；若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
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18. 如图，在平面四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求BD的长；
2. （2）求BD的最大值．
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19. 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点Q，使得AQ⊥平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由：
2. （2）求点C到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

一般
激动
总计
男性
90
120
女性
25
总计
200
附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$
0.100
0.050
0.010
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
6.635
10.828
1. （1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？
2. （2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作动直线 $\text{[math]}$ ，与双曲线的左、右支分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取异于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 恒在一条定直线上．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．
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