北京市西城区2023届高三上学期数学期末试卷

更新时间：2023-02-13 浏览次数：74 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设复数 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 是奇函数，且在 $\text{[math]}$ 上是增函数 B . 是奇函数，且在 $\text{[math]}$ 上是减函数 C . 是偶函数，且在 $\text{[math]}$ 上是增函数 D . 是偶函数，且在 $\text{[math]}$ 上是减函数

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4. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，则C的焦点到其渐近线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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5. 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. “空气质量指数（ $\text{[math]}$ ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当 $\text{[math]}$ 大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数 $\text{[math]}$ 随时间 $\text{[math]}$ 变化的趋势由函数 $\text{[math]}$ 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

A . 5小时 B . 6小时 C . 7小时 D . 8小时

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8. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为锐角，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ． P为 $\text{[math]}$ 边上的动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直． $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 及其内部的点构成的集合， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 及其内部的点构成的集合．设 $\text{[math]}$ ，给出下列三个结论：
① $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ．
其中所有正确结论的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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二、填空题

11. (2020高三上·潮州月考) $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为.（用数字作答）

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12. (2019·北京) 设抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为.

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13. 人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 均为正常数，且 $\text{[math]}$ ，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数；
③ $\text{[math]}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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15. 设函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的单调递增区间是；若 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求x的取值范围．
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17. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求：
  （ⅰ）直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
  （ⅱ）点D到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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18. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：

12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5
1. （1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月 $\text{[math]}$ 零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
2. （2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中 $\text{[math]}$ 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为 $\text{[math]}$ ，同期各月轿车与对应的 $\text{[math]}$ 月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系．（结论不要求证明）
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19. 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B， $\text{[math]}$ 的中点为M．设O为原点，射线 $\text{[math]}$ 交椭圆E于点C．当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等时，求k的值．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的零点个数，并加以证明；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，证明：存在实数m，使 $\text{[math]}$ 恒成立．
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21. 已知 $\text{[math]}$ 为有穷数列．若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ （规定 $\text{[math]}$ ），则称 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断数列 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ？若具有性质 $\text{[math]}$ ，写出对应的集合 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）给定正整数 $\text{[math]}$ ，对所有具有性质 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 中元素个数的最小值．
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