2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）

更新时间：2022-06-13 浏览次数：447 类型：高考真卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A . 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B . 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C . 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D . 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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3. 若 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A . 8 B . 12 C . 16 D . 20

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5. 将函数 $\text{[math]}$ 的图像向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的图像大致为（）

A . B . C . D .

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8. 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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9. 在长方体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成的角均为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . AB与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$

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10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $\text{[math]}$ ，侧面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，体积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\text{[math]}$ ，则C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 设点M在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的方程为．

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15. 记双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为e，写出满足条件“直线 $\text{[math]}$ 与C无公共点”的e的一个值．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 中，点D在边BC上， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ ．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数

未准点班次数

A

240

20

B

210

30

附： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$

0.100

0.050

0.010

$\text{[math]}$

2.706

3.841

6.635
1. （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
2. （2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
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18. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等差数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 成等比数列，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $\text{[math]}$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $\text{[math]}$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $\text{[math]}$ 垂直．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求a：
2. （2）求a的取值范围．
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21. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的方程：
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角分别为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，求直线AB的方程．
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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （s为参数）．
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点的直角坐标，及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点的直角坐标．
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23. 已知a，b，c均为正数，且 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
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