河南省郑州市2022届高三理数第二次质量预测试卷

更新时间：2022-04-18 浏览次数：67 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知i是虚数单位，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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3. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（）

A . 9.5 尺 B . 10.5 尺 C . 11.5 尺 D . 12.5 尺

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5. 已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（）

A . −32 B . 32 C . −64 D . 64

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7. 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是奇函数 C . 直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对称轴 D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减

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8. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（）

A . 240种 B . 480种 C . 540种 D . 720种

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9. 若平面上两点A（−2，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹与直线l： $\text{[math]}$ 的公共点的个数为（）

A . 2 B . 1 C . 0 D . 与实数k的取值有关

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10. 2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 2600年 B . 3100年 C . 3200年 D . 3300年

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11. 已知 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点，点 $\text{[math]}$ 在双曲线的右支上，点 $\text{[math]}$ 是平面内一定点，若对任何实数 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 至多有一个公共点，则 $\text{[math]}$ 的最小值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则数列 $\text{[math]}$ 第2022项为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 曲线 $\text{[math]}$ 在点（ $\text{[math]}$ ， 2）处的切线方程是．

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14. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F₁PF₂的面积为．

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15. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D₁−ABC．当三棱锥D₁−ABC体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），给出下列四个命题，其中真命题有．（写出所有真命题的序号）
①存在实数k，使得方程 $\text{[math]}$ 恰有一个根；
②存在实数k，使得方程 $\text{[math]}$ 恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
④任意实数a，存在不相等的实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. 随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的 $\text{[math]}$ ，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．
1. （1）完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？
  
  有兴趣
  没有兴趣
  合计
  男
  女
  合计
2. （2）该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．
  附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$
  0.100
  0.050
  0.025
  0.010
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  5.024
  6.635
  10.828
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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．
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19. 如图，四棱台ABCD−A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AB＝AA₁＝2A₁D₁＝2，∠ABC＝60°，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，平面ABB₁A₁⊥平面ABCD．
1. （1）求证：AA₁⊥平面ABCD；
2. （2）求锐二面角A−DD₁−C的正切值．
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20. 已知抛物线C： $\text{[math]}$ ，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．
1. （1）若点N的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，求证：直线AB恒过定点；
2. （2）若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求△ABN面积的最大值（结果用m表示）．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，求实数a的取值范围．
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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．已知M是曲线C₁上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C₂ ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求曲线C₁ ， C₂的极坐标方程；
2. （2）设点Q（1，0），若射线l： $\text{[math]}$ 与曲线C₁ ， C₂分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积．
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23. 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若对于任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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