福建省莆田市2022届高三数学第一次教学质量检测试卷

更新时间：2022-02-23 浏览次数：99 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {5} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 互相平行，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . -2 C . -2或0 D . 0

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4. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在R上的奇函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . ﹣2 B . 2 C . ﹣6 D . 6

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5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用 $\text{[math]}$ 表示解下n（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）个圆环所需的最少移动次数，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则解下6个环所需的最少移动次数为（）

A . 13 B . 15 C . 16 D . 29

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 甲烷是一种有机化合物，分子式为 $\text{[math]}$ ，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离 $\text{[math]}$ （H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离 $\text{[math]}$ （C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高三上·清远期末) 已知P是边长为4的正三角形 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 16 B . 12 C . 5 D . 4

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二、多选题

9. 有一组样本甲的数据 $\text{[math]}$ ，由这组数据得到新样本乙的数据 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为正实数．下列说法正确的是（）

A . 样本甲的极差一定小于样本乙的极差 B . 样本甲的方差一定大于样本乙的方差 C . 若 $\text{[math]}$ 为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为 $\text{[math]}$

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10. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”的一个必要不充分条件可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 若函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在两点，使得 $\text{[math]}$ 的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $\text{[math]}$ 具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ （）

A . 若 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值个数最多为2 D . 若 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值个数最多为3

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三、填空题

13. 曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为．

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14. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 为正方体 $\text{[math]}$ 表面上的一动点，且满足 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 运动轨迹的周长为.

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16. 如图，杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它揭示了 $\text{[math]}$ （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第9行从左到右数第5个数是，第9行排在奇数位置的所有数字之和为．

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四、解答题

17. 已知锐角 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 外接圆面积的最小值.
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18. 某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
1. （1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
2. （2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C是线段 $\text{[math]}$ 的中点，P是平面内的一动点，且满足 $\text{[math]}$ ，记点P的运动轨迹为曲线E.
1. （1）求曲线E的方程；
2. （2）过点B的直线l与曲线E交于M，N两点，若△ $\text{[math]}$ 的面积是△ $\text{[math]}$ 的面积的3倍，求直线l的方程.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求b的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求b的取值范围．
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