安徽六校教育研究会2022届高三理数第一次素质考试试卷

更新时间：2021-09-07 浏览次数：157 类型：高考模拟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 一个至少有3项的数列 $\text{[math]}$ 中，前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 为等差数列的（　　）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 下列说法正确的是（　　）

A . 经过三点确定一个平面 B . 各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C . 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D . 一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形

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5. 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为20，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . 7 B . 6 C . 5 D . 4

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6. 将点 $\text{[math]}$ 绕原点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点B，则点B的横坐标为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，A和B分别为抛物线上的两个动点，若 $\text{[math]}$ （O为坐标原点），弦 $\text{[math]}$ 恒过定点 $\text{[math]}$ ，则抛物线方程为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（　　）

A . 20个 B . 62个 C . 63个 D . 64个

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10. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15．如图所示．

一般地，将连续的正整数1，2，3，… $\text{[math]}$ 填入 $\text{[math]}$ 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做 $\text{[math]}$ 阶幻方．记 $\text{[math]}$ 阶幻方的对角线上的数的和为 $\text{[math]}$ ，如图三阶幻方记为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（　　）

A . 670 B . 671 C . 672 D . 675

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线交双曲线于M ， N两点 $\text{[math]}$ 在第一象限），若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的内切圆半径之比为3：2，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）．

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 在棱长为2的正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的高线，则异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值为．

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15. 正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割 $\text{[math]}$ ，余割 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 对任意的实数 $\text{[math]}$ 均成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 的图像经过四个象限，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）分别求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 三角形 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积最大值．
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19. 近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为 $\text{[math]}$ ．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．
1. （1）用 $\text{[math]}$ 表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率．
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20. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，N为 $\text{[math]}$ 中点，面 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 长；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上的一个动点，且 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 作与 $\text{[math]}$ 轴不垂直的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于A ， B两点，第一象限点 $\text{[math]}$ 在椭圆上且满足 $\text{[math]}$ 轴，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 探索 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
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22. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1）对任意正数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ；
2. （2）对任意正数a ， b ，有 $\text{[math]}$ ．
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