河南省南阳市中原名校2021年数学中考一模联考试卷

更新时间：2021-05-20 浏览次数：229 类型：中考模拟

一、单选题

1. 下列实数中，是有理数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . cos45° C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 下列几何体所对应的主视图中，不是中心对称图形的是（）

A . 圆锥 B . 正方体 C . 球 D . 圆柱

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3. 如图所示，直线l₁斜截平行线l₂ ， l₃ ，则下列判断错误的是（）

A . ∠1＝∠7 B . ∠2＝∠6 C . ∠3＋∠5＝90° D . ∠4＋∠7＝180°

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4. 下列关于圆的说法，正确的是（）

A . 弦是直径，直径也是弦 B . 半圆是圆中最长的弧 C . 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D . 过三点可以作一个圆

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5. 已知关于x的方程ax²﹣x＝0有实数根，则实数a的取值范围是（）

A . a≠0 B . a≤0 C . a＞0 D . 全体实数

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6. 在平面直角坐标系中，已知点P（x₀ ， ﹣y₀），连接OP，将线段OP绕点O顺时针旋转90°后，得到线段OQ，则点Q的坐标是（）

A . （﹣y₀ ， ﹣x₀） B . （﹣y₀ ， x₀） C . （y₀ ， x₀） D . （﹣x₀ ， y₀）

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7. 现有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，3的不透明卡片（形状与材质相同），将它们正面朝下洗均匀，随机抽取一张记下数字后放回（设数字为a），再次正面朝下洗均匀，再随机抽取一张记下数字（设数字为b），则关于x的不等式组 $\text{[math]}$ 有解的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（）

A . 86° B . 84° C . 76° D . 74°

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9. 如图所示，双曲线y＝ $\text{[math]}$ 上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 2 $\text{[math]}$

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10. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c，其中a＜0，若函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，则下列判断错误的是（）

A . abc＜0 B . b＞0 C . c＜0 D . b＋c＜0

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二、填空题

11. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫.用科学记数法表示数据“9899万”：.

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12. 如图所示，AB为⊙O的直径，过圆外一点C作⊙O的切线BC，连接AC交弧AB于点D，连接BD.若AB＝5，AD＝2，则BC＝.

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13. 方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”.如图所示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是.

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14. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是线段AB的中点，点F是直线AD上的动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′.连接A′C，则A′C长度的最小值是.

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15. 给出定义：如果某函数的图象关于原点对称，且图象过原点，那么我们称该函数为“完美函数”.已知函数y＝ $\text{[math]}$ 是“完美函数”，且其图象过点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则函数值y的取值范围是.（链接材料：a＋b≥2 $\text{[math]}$ ，其中a，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立）

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三、解答题

16. 先化简，再求值：（ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ ，其中m＝ $\text{[math]}$ .

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17. 我国坚持保护环境的基本国策，努力推动建设资源节约型、环境友好型社会，大力推行垃圾分类.某市第一中学欲通过试题考核＋实践考核的方式，评选2位垃圾分类模范学生，并进行全校表彰.评选过程如下：①第一轮筛选：由各班（共计60个班）自行推举5位学生参加试题考核；②第二轮筛选：学校组织试题考核，学生成绩分为A档、B档、C档、D档，A档学生可通过试题考核，参加第三轮筛选；③第三轮筛选：组织A档学生进行实践考核，由校领导进行评分，成绩排位前5的学生，可通过实践考核；④将通过实践考核的学生的试题考核与实践考核成绩进行赋权（试题考核占55%、实践考核占45%），得到最终成绩，按分数排位，取前2位评为垃圾分类模范学生.

如表1，是校宣传部统计的试题考核成绩频数分布表（不完整）.

如表2，是通过实践考核的5位学生最终成绩统计表.

表1 试题考核成绩频数分布表

成绩档位	频数	频率
A档（100分﹣90分）	11
B档（89分﹣75分）	a	0.50
C档（74分﹣60分）	b	c
D档（59分﹣0分）		0.03
注：频率均保留小数点后两位

表2 5位学生最终成绩统计表

	甲	乙	丙	丁	戊
试题考核成绩（分）	98	96	95	93	91
实践考核成绩（分）	100	91	100	98	99
最终成绩（分）	98.90		97.25	95.25
注：最终成绩均保留小数点后两位

（1）填空：a＝；b＝；c＝.
（2）计算乙、戊两位学生的最终成绩.
（3）已知通过实践考核的学生中，共3个女生和2个男生，通过列表或画树状图的方法求2位垃圾分类模范学生性别相同的概率.

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18. 如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层.某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案.具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角a＝37°，光路AB长 $\text{[math]}$ m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点C）.已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线.求上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.

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19. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4交x轴于点A，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x＋2交x轴于点B，两直线交于点C.
1. （1）求证：△ABC是直角三角形.
2. （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
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20. 某故宫文物修复专家欲根据某瓷盘残片复原出瓷盘的原状（已知瓷盘的原状为标准的圆），并补描上花纹.文物修复专家的复原方法如下：①在瓷盘残片上作出两条弦；②分别作两条弦的垂直平分线，交于点O；③点O即为瓷盘的圆心，以圆心到弧上任意一点的长为半径作圆，即可作出瓷盘的原状.如图所示，是瓷盘残片的示意图.
1. （1）尺规作图：请你根据文物修复专家的复原方法，作出瓷盘的原状（要求：不写作法，保留作图痕迹）.
2. （2）请你对文物修复专家的复原方法（“弦的垂直平分线过圆心”）进行证明（要求：写出“已知”“求证”“证明”）.
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21. 某化工厂欲对工业废料进行低成本加工后循环利用，因此建设了废料处理分厂A，B进行废料处理，B分厂用于处理A分厂当日处理不尽的工业废料，已知A分厂的日处理量为m吨，每日需固定成本30元，且每处理一吨废料还需人工、物料费用等共计8元；B分厂的废料处理价格为12元/吨.根据记录，某日处理工业废料35吨共花费370元.
1. （1）求A分厂的日废料处理量m的值.
2. （2）若欲使每日废料处理的平均费用不超过10元/吨，求A，B分厂日处理的工业废料总量n的取值范围.
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22. 已知抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²＋2ax﹣4
1. （1）讨论抛物线与x轴的交点个数，
2. （2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值.
  链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式.
  
  例：解不等式：x²＋x﹣2＞0.
  
  解：不等式x²＋x﹣2＞0的解集，
  
  等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集，
  
  等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围.
  
  如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1
  
  ∴不等式x²＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1
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23. 瑞士数学家菜昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是18世纪数学界最杰出的人物之一.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中提出“欧拉线定理”：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线.
（定理证明）

已知：如图所示，在△ABC中，点G，O，H分别是△ABC的重心、外心、垂心.

求证：G，O，H三点共线.

证明：作△ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D；作中线AM；连接AD，CD，AH，CH，OH，OM；设AM交OH于点G′.

…
1. （1）请你按照辅助线的语言表述，补全图，并继续完成欧拉线定理的证明.
2. （2）在（定理证明）的基础上，判断OH与OG的数量关系，并说明理由.
3. （3）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（4，0），C（3， $\text{[math]}$ ），请直接写出△ABC的欧拉线的函数解析式.
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