2017年山西省吕梁市孝义市高考数学热身试卷（理科）

更新时间：2017-08-31 浏览次数：1147 类型：高考模拟

一、选择题：

1. 已知集合A={（x，y）|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={（x，y）|y=2x，0≤x≤10}，则集合A∩B=（）

A . {1，2} B . {x|0≤x≤1} C . {（1，2）} D . ∅

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2. 已知复数z是一元二次方程x²﹣2x+2=0的一个根，则|z|的值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 0 D . 2

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3. 已知等差数列{a_n}，S₃=6，a₉+a₁₁+a₁₃=60，则S₁₃的值为（）

A . 66 B . 42 C . 169 D . 156

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4. 设a= $\text{[math]}$ （1﹣2x）dx，则二项式（ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ）⁶的常数项是（）

A . 240 B . ﹣240 C . ﹣60 D . 60

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5. 大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，则其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 《九章算术》中记载了一种标准量器﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸．（π≈3.14）

A . 12.656 B . 13.667 C . 11.414 D . 14.354

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7. 已知函数y=f（x），满足y=f（﹣x）和y=f（x+2）是偶函数，且f（1）= $\text{[math]}$ ，设F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（3）=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . π D . $\text{[math]}$

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8. 已知抛物线y²=2px（p＞0），过点C（﹣4，0）作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y²=2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是（）

A . y²=4x B . y²=﹣4x C . y²=8x D . y²=﹣8x

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9. 根据下边流程图输出的值是（）

A . 11 B . 31 C . 51 D . 79

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10. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=A₁D₁=a，A₁B₁=2a，点P在线段AD₁上运动，当异面直线CP与BA₁所成的角最大时，则三棱锥C﹣PA₁D₁的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . a³

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11. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[﹣ $\text{[math]}$ ，0]）的周期为π，将函数f（x）的图象沿着y轴向上平移一个单位得到函数g（x）图象，设g（x）＜1，对任意的x∈（﹣ $\text{[math]}$ ，﹣ $\text{[math]}$ ）恒成立，当φ取得最小值时，g（ $\text{[math]}$ ）的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，有下列四个命题：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；
③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；
④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，
其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务，现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是．

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14. 如图所示，在南海上有两座灯塔A，B，这两座灯座之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶至一半路程时刚好到达M处，恰好M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =．

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15. 若x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，设x²+y²+4x的最大值点为A，则经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为．

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16. (2017·太原模拟) 对于正整数n，设x_n是关于x的方程nx³+2x﹣n=0的实数根，记a_n=[（n+1）x_n]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则 $\text{[math]}$ （a₂+a₃+…+a₂₀₁₅）=．

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三、解答题

17. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos²B﹣cos²C﹣sin²A=﹣sinAsinB，sin（A﹣B）=cos（A+B）．
1. （1）求角A、B、C；
2. （2）若a= $\text{[math]}$ ，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积．
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18. 某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况，现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的机器人样本，试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数据如图所示，请据此回答如下问题：
分组
机器人数
频率
[50，60）
0.08
[60，70）
10
[70，80）
10
[80，90）
[90，100]
6
1. （1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；
2. （2）若随机抽的第一个号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？
3. （3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人记为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
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19. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁﹣EF﹣B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）．
1. （1）求证：A₁E⊥平面BEP；
2. （2）求二面角B一A₁P一F的余弦值的大小．
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20. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点为（﹣2，0），且椭圆C与直线 $\text{[math]}$ 相切，
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）过点P（0，1）的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得 $\text{[math]}$ ？请说明理由．
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21. 已知函数f（x）=x²e^﹣^ax﹣1（a是常数），
1. （1）求函数y=f（x）的单调区间：
2. （2）当x∈（0，16）时，函数f（x）有零点，求a的取值范围．
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22. 已知在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为： $\text{[math]}$ ，曲线C₂的极坐标方程为：ρ²（1+sin²θ）=8，
1. （1）写出C₁和C₂的普通方程；
2. （2）若C₁与C₂交于两点A，B，求|AB|的值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若f（x）≥﹣|x|+a恒成立，求实数a的取值范围；
2. （2）若对于实数x，y，有|x+y+1|≤ $\text{[math]}$ ，|y﹣ $\text{[math]}$ |≤ $\text{[math]}$ ，求证：f（x）≤ $\text{[math]}$ ．
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